3.7.62 \(\int \frac {(a+b x)^2}{\sqrt [3]{x}} \, dx\) [662]

Optimal. Leaf size=36 \[ \frac {3}{2} a^2 x^{2/3}+\frac {6}{5} a b x^{5/3}+\frac {3}{8} b^2 x^{8/3} \]

[Out]

3/2*a^2*x^(2/3)+6/5*a*b*x^(5/3)+3/8*b^2*x^(8/3)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]
time = 0.01, antiderivative size = 36, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 2, number of rules used = 1, integrand size = 13, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.077, Rules used = {45} \begin {gather*} \frac {3}{2} a^2 x^{2/3}+\frac {6}{5} a b x^{5/3}+\frac {3}{8} b^2 x^{8/3} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*x)^2/x^(1/3),x]

[Out]

(3*a^2*x^(2/3))/2 + (6*a*b*x^(5/3))/5 + (3*b^2*x^(8/3))/8

Rule 45

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {(a+b x)^2}{\sqrt [3]{x}} \, dx &=\int \left (\frac {a^2}{\sqrt [3]{x}}+2 a b x^{2/3}+b^2 x^{5/3}\right ) \, dx\\ &=\frac {3}{2} a^2 x^{2/3}+\frac {6}{5} a b x^{5/3}+\frac {3}{8} b^2 x^{8/3}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]
time = 0.01, size = 28, normalized size = 0.78 \begin {gather*} \frac {3}{40} x^{2/3} \left (20 a^2+16 a b x+5 b^2 x^2\right ) \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*x)^2/x^(1/3),x]

[Out]

(3*x^(2/3)*(20*a^2 + 16*a*b*x + 5*b^2*x^2))/40

________________________________________________________________________________________

Mathics [C] Result contains higher order function than in optimal. Order 9 vs. order 2 in optimal.
time = 10.45, size = 965, normalized size = 26.81

result too large to display

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

mathics('Integrate[(a + b*x)^2/x^(1/3),x]')

[Out]

Piecewise[{{3 a ^ (2 / 3) (-9 -1 ^ (2 / 3) a ^ 2 + 20 a ^ 2 (b x / a) ^ (2 / 3) + 16 a b x (b x / a) ^ (2 / 3)
 + 5 b ^ 2 x ^ 2 (b x / a) ^ (2 / 3)) / (40 b ^ (2 / 3)), Abs[(a + b x) / a] > 1}}, -27 E ^ (I 2 Pi / 3) a ^ (
32 / 3) / (40 a ^ 8 b ^ (2 / 3) - 120 a ^ 7 b ^ (5 / 3) (a / b + x) + 120 a ^ 6 b ^ (8 / 3) (a / b + x) ^ 2 -
40 a ^ 5 b ^ (11 / 3) (a / b + x) ^ 3) + 27 E ^ (I 2 Pi / 3) a ^ (32 / 3) (1 - b (a / b + x) / a) ^ (2 / 3) /
(40 a ^ 8 b ^ (2 / 3) - 120 a ^ 7 b ^ (5 / 3) (a / b + x) + 120 a ^ 6 b ^ (8 / 3) (a / b + x) ^ 2 - 40 a ^ 5 b
 ^ (11 / 3) (a / b + x) ^ 3) - 63 E ^ (I 2 Pi / 3) a ^ (29 / 3) b (a / b + x) (1 - b (a / b + x) / a) ^ (2 / 3
) / (40 a ^ 8 b ^ (2 / 3) - 120 a ^ 7 b ^ (5 / 3) (a / b + x) + 120 a ^ 6 b ^ (8 / 3) (a / b + x) ^ 2 - 40 a ^
 5 b ^ (11 / 3) (a / b + x) ^ 3) + 81 E ^ (I 2 Pi / 3) a ^ (29 / 3) b (a / b + x) / (40 a ^ 8 b ^ (2 / 3) - 12
0 a ^ 7 b ^ (5 / 3) (a / b + x) + 120 a ^ 6 b ^ (8 / 3) (a / b + x) ^ 2 - 40 a ^ 5 b ^ (11 / 3) (a / b + x) ^
3) - 81 E ^ (I 2 Pi / 3) a ^ (26 / 3) b ^ 2 (a / b + x) ^ 2 / (40 a ^ 8 b ^ (2 / 3) - 120 a ^ 7 b ^ (5 / 3) (a
 / b + x) + 120 a ^ 6 b ^ (8 / 3) (a / b + x) ^ 2 - 40 a ^ 5 b ^ (11 / 3) (a / b + x) ^ 3) + 42 E ^ (I 2 Pi /
3) a ^ (26 / 3) b ^ 2 (1 - b (a / b + x) / a) ^ (2 / 3) (a / b + x) ^ 2 / (40 a ^ 8 b ^ (2 / 3) - 120 a ^ 7 b
^ (5 / 3) (a / b + x) + 120 a ^ 6 b ^ (8 / 3) (a / b + x) ^ 2 - 40 a ^ 5 b ^ (11 / 3) (a / b + x) ^ 3) - 18 E
^ (I 2 Pi / 3) a ^ (23 / 3) b ^ 3 (1 - b (a / b + x) / a) ^ (2 / 3) (a / b + x) ^ 3 / (40 a ^ 8 b ^ (2 / 3) -
120 a ^ 7 b ^ (5 / 3) (a / b + x) + 120 a ^ 6 b ^ (8 / 3) (a / b + x) ^ 2 - 40 a ^ 5 b ^ (11 / 3) (a / b + x)
^ 3) + 27 E ^ (I 2 Pi / 3) a ^ (23 / 3) b ^ 3 (a / b + x) ^ 3 / (40 a ^ 8 b ^ (2 / 3) - 120 a ^ 7 b ^ (5 / 3)
(a / b + x) + 120 a ^ 6 b ^ (8 / 3) (a / b + x) ^ 2 - 40 a ^ 5 b ^ (11 / 3) (a / b + x) ^ 3) + 27 E ^ (I 2 Pi
/ 3) a ^ (20 / 3) b ^ 4 (1 - b (a / b + x) / a) ^ (2 / 3) (a / b + x) ^ 4 / (40 a ^ 8 b ^ (2 / 3) - 120 a ^ 7
b ^ (5 / 3) (a / b + x) + 120 a ^ 6 b ^ (8 / 3) (a / b + x) ^ 2 - 40 a ^ 5 b ^ (11 / 3) (a / b + x) ^ 3) - 15
E ^ (I 2 Pi / 3) a ^ (17 / 3) b ^ 5 (1 - b (a / b + x) / a) ^ (2 / 3) (a / b + x) ^ 5 / (40 a ^ 8 b ^ (2 / 3)
- 120 a ^ 7 b ^ (5 / 3) (a / b + x) + 120 a ^ 6 b ^ (8 / 3) (a / b + x) ^ 2 - 40 a ^ 5 b ^ (11 / 3) (a / b + x
) ^ 3)]

________________________________________________________________________________________

Maple [A]
time = 0.10, size = 25, normalized size = 0.69

method result size
trager \(\left (\frac {3}{8} x^{2} b^{2}+\frac {6}{5} a b x +\frac {3}{2} a^{2}\right ) x^{\frac {2}{3}}\) \(24\)
gosper \(\frac {3 x^{\frac {2}{3}} \left (5 x^{2} b^{2}+16 a b x +20 a^{2}\right )}{40}\) \(25\)
derivativedivides \(\frac {3 a^{2} x^{\frac {2}{3}}}{2}+\frac {6 a b \,x^{\frac {5}{3}}}{5}+\frac {3 b^{2} x^{\frac {8}{3}}}{8}\) \(25\)
default \(\frac {3 a^{2} x^{\frac {2}{3}}}{2}+\frac {6 a b \,x^{\frac {5}{3}}}{5}+\frac {3 b^{2} x^{\frac {8}{3}}}{8}\) \(25\)
risch \(\frac {3 x^{\frac {2}{3}} \left (5 x^{2} b^{2}+16 a b x +20 a^{2}\right )}{40}\) \(25\)

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((b*x+a)^2/x^(1/3),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

3/2*a^2*x^(2/3)+6/5*a*b*x^(5/3)+3/8*b^2*x^(8/3)

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]
time = 0.25, size = 24, normalized size = 0.67 \begin {gather*} \frac {3}{8} \, b^{2} x^{\frac {8}{3}} + \frac {6}{5} \, a b x^{\frac {5}{3}} + \frac {3}{2} \, a^{2} x^{\frac {2}{3}} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^2/x^(1/3),x, algorithm="maxima")

[Out]

3/8*b^2*x^(8/3) + 6/5*a*b*x^(5/3) + 3/2*a^2*x^(2/3)

________________________________________________________________________________________

Fricas [A]
time = 0.31, size = 24, normalized size = 0.67 \begin {gather*} \frac {3}{40} \, {\left (5 \, b^{2} x^{2} + 16 \, a b x + 20 \, a^{2}\right )} x^{\frac {2}{3}} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^2/x^(1/3),x, algorithm="fricas")

[Out]

3/40*(5*b^2*x^2 + 16*a*b*x + 20*a^2)*x^(2/3)

________________________________________________________________________________________

Sympy [C] Result contains complex when optimal does not.
time = 1.03, size = 1765, normalized size = 49.03

result too large to display

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)**2/x**(1/3),x)

[Out]

Piecewise((-27*a**(32/3)*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)/(-40*a**8*b**(2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a*
*6*b**(8/3)*(a/b + x)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**3) + 27*a**(32/3)*exp(2*I*pi/3)/(-40*a**8*b**(2/3) + 1
20*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a**6*b**(8/3)*(a/b + x)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**3) + 63*a**(29/3)*b
*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)/(-40*a**8*b**(2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a**6*b**(8/3)*(a
/b + x)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**3) - 81*a**(29/3)*b*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3)/(-40*a**8*b**(2/3) + 120
*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a**6*b**(8/3)*(a/b + x)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**3) - 42*a**(26/3)*b**
2*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**2/(-40*a**8*b**(2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a**6*b**(8/3
)*(a/b + x)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**3) + 81*a**(26/3)*b**2*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3)/(-40*a**8*b**(
2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a**6*b**(8/3)*(a/b + x)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**3) + 18*a**
(23/3)*b**3*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**3/(-40*a**8*b**(2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a*
*6*b**(8/3)*(a/b + x)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**3) - 27*a**(23/3)*b**3*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)/(-40
*a**8*b**(2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a**6*b**(8/3)*(a/b + x)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**3
) - 27*a**(20/3)*b**4*(-1 + b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**4/(-40*a**8*b**(2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x
) - 120*a**6*b**(8/3)*(a/b + x)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**3) + 15*a**(17/3)*b**5*(-1 + b*(a/b + x)/a)*
*(2/3)*(a/b + x)**5/(-40*a**8*b**(2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a**6*b**(8/3)*(a/b + x)**2 + 40*a**
5*b**(11/3)*(a/b + x)**3), Abs(b*(a/b + x)/a) > 1), (-27*a**(32/3)*(1 - b*(a/b + x)/a)**(2/3)*exp(2*I*pi/3)/(-
40*a**8*b**(2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a**6*b**(8/3)*(a/b + x)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)*
*3) + 27*a**(32/3)*exp(2*I*pi/3)/(-40*a**8*b**(2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a**6*b**(8/3)*(a/b + x
)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**3) + 63*a**(29/3)*b*(1 - b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3)/(-4
0*a**8*b**(2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a**6*b**(8/3)*(a/b + x)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**
3) - 81*a**(29/3)*b*(a/b + x)*exp(2*I*pi/3)/(-40*a**8*b**(2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a**6*b**(8/
3)*(a/b + x)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**3) - 42*a**(26/3)*b**2*(1 - b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**2*
exp(2*I*pi/3)/(-40*a**8*b**(2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a**6*b**(8/3)*(a/b + x)**2 + 40*a**5*b**(
11/3)*(a/b + x)**3) + 81*a**(26/3)*b**2*(a/b + x)**2*exp(2*I*pi/3)/(-40*a**8*b**(2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b
 + x) - 120*a**6*b**(8/3)*(a/b + x)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**3) + 18*a**(23/3)*b**3*(1 - b*(a/b + x)/
a)**(2/3)*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)/(-40*a**8*b**(2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a**6*b**(8/3)*(a/b
 + x)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**3) - 27*a**(23/3)*b**3*(a/b + x)**3*exp(2*I*pi/3)/(-40*a**8*b**(2/3) +
 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a**6*b**(8/3)*(a/b + x)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**3) - 27*a**(20/3)
*b**4*(1 - b*(a/b + x)/a)**(2/3)*(a/b + x)**4*exp(2*I*pi/3)/(-40*a**8*b**(2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) -
 120*a**6*b**(8/3)*(a/b + x)**2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**3) + 15*a**(17/3)*b**5*(1 - b*(a/b + x)/a)**(2/
3)*(a/b + x)**5*exp(2*I*pi/3)/(-40*a**8*b**(2/3) + 120*a**7*b**(5/3)*(a/b + x) - 120*a**6*b**(8/3)*(a/b + x)**
2 + 40*a**5*b**(11/3)*(a/b + x)**3), True))

________________________________________________________________________________________

Giac [A]
time = 0.00, size = 48, normalized size = 1.33 \begin {gather*} \frac {3 b^{2} \left (x^{\frac {1}{3}}\right )^{2} x^{2}}{2\cdot 4}+\frac {6}{5} a b \left (x^{\frac {1}{3}}\right )^{2} x+\frac {3}{2} a^{2} \left (x^{\frac {1}{3}}\right )^{2} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((b*x+a)^2/x^(1/3),x)

[Out]

3/8*b^2*x^(8/3) + 6/5*a*b*x^(5/3) + 3/2*a^2*x^(2/3)

________________________________________________________________________________________

Mupad [B]
time = 0.04, size = 24, normalized size = 0.67 \begin {gather*} \frac {3\,x^{2/3}\,\left (20\,a^2+16\,a\,b\,x+5\,b^2\,x^2\right )}{40} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a + b*x)^2/x^(1/3),x)

[Out]

(3*x^(2/3)*(20*a^2 + 5*b^2*x^2 + 16*a*b*x))/40

________________________________________________________________________________________